Paiements sécurisés et non-sécurisés sur une blockchain

Le bitcoin dont on vient de fêter récemment le huitième anniversaire constitue une solution spectaculaire au problème de la double dépense dans un univers numérique décentralisé. La partie mathématique du papier fondateur de Satoshi Nakamoto souffre cependant d’une approximation. La probabilité de réussite d’une double-dépense est estimée en remplaçant grossièrement une loi binomiale négative par une loi de Poisson comme expliqué par Meni Rosenfel dès 2012. Nous reprenons ces calculs et montrons que ladite probabilité peut s’exprimer simplement à l’aide d’une formule fermée mettant en jeu une seule fonction béta régularisée incomplète. Nous montrons ensuite que cette probabilité tend exponentiellement vers 0 en fonction du nombre de confirmations reçues, un résultat souvent cité mais jamais démontré à ce jour. Nous donnons ensuite d’autres formules plus fines en prenant en compte les temps de minage. Enfin, nous étudions la possibilité de réaliser des paiements rapides sans attente de confirmations sur la blockchain.